Which of the following is the solution set of the inequality $x^2-2x-14\le 1 ?$

একটি দ্বিঘাত অসমতার (quadratic inequality) সমাধান করতে হলে প্রথমে অসমতাটিকে আদর্শ রূপে (standard form) সাজাতে হয় এবং তারপর এর মূলগুলি (roots) নির্ণয় করে সমাধান সেট (solution set) বের করতে হয়।

দেওয়া আছে অসমতাটি:

প্রথমে অসমতাটিকে একপাশে সকল পদ নিয়ে আদর্শ রূপে সাজাই:

এখন, এই দ্বিঘাত বহুপদীর (quadratic polynomial) মূলগুলি নির্ণয় করতে হবে। এর জন্য আমরা সংশ্লিষ্ট সমীকরণটি (corresponding equation) ব্যবহার করব:

এই সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ (factorization) করে মূলগুলি বের করা যায়। আমরা এমন দুটি সংখ্যা খুঁজব যাদের গুণফল \(-15\) এবং যোগফল \(-2\)। সংখ্যা দুটি হলো \(-5\) এবং \(3\)।

সুতরাং, মূলগুলি হলো \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\) এবং \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)।

যেহেতু অসমতাটি হলো \(x^2 - 2x - 15 \le 0\), এবং \(x^2\) এর সহগ (coefficient) ধনাত্মক (positive), এর মানে হলো পরাবৃত্তটি (parabola) উপরের দিকে উন্মুক্ত (opens upwards)। যখন একটি দ্বিঘাত অসমতা \(ax^2 + bx + c \le 0\) আকারের হয় এবং \(a > 0\), তখন সমাধান সেটটি দুটি মূলের মধ্যবর্তী স্থানে (between the roots) থাকে। যেহেতু এখানে \(\le\) চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে, তাই মূলগুলিও সমাধান সেটের অন্তর্ভুক্ত হবে।

অতএব, সমাধান সেটটি হবে মূলদ্বয়ের মধ্যবর্তী অন্তর্ভুক্ত অঞ্চল:

এই সমাধান সেটটিকে ব্যবধি (interval) আকারে প্রকাশ করলে হয়:

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে এই সমাধান সেটটি অপশন 1 এ আছে।